எண் வரிசைகள் ஏதேனும் ஒரு விதிமுறைக்கு ஏற்ப ஒன்றாவது , இரண்டாவது , மூன்றாவது என வரிசையாக எழுதுகின்ற ஒரு எண் தொகுப்பை எண் தொடர...
எண் வரிசைகள்
- ஏதேனும் ஒரு விதிமுறைக்கு ஏற்ப ஒன்றாவது, இரண்டாவது, மூன்றாவது என வரிசையாக எழுதுகின்ற ஒரு எண் தொகுப்பை எண் தொடர் எனக் கூறுவர்.
- ஒன்றாவது, இரண்டாவது, மூன்றாவது என சரியான இடங்களில் வரிசைப்படுத்தப் பட்டவைகளைக் குறிப்பிடுவதற்கு தொடர் என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
- இவ்வாறு வரிசைப்படுத்துவது எண்களை மட்டுமல்ல. எடுத்துக்காட்டாக பல கோணங்களின் வரிசை, பல்லுறுப்புகளின் ஒரு தொடர், ஒரு மொழியில் உள்ள சொற்களை எழுத்துக்களின் அடிப்படையில் அடுக்குவது.
- அளவுகள் இல்லாத சில சார்பு எண்களின் சிறப்புத் தன்மைகளைப் பயன்படுத்தித் தொடர்களை உருவாக்கலாம்.
எ:கா பகா எண்களை ஏறுவரிசையில் எழுதுவது. 2,3,5,7,13,... - பொட்டுக்களை அடுக்கி முக்கோணங்களை உருவாக்கலாம்.
ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் உள்ள பொட்டுகளின் எண்ணிக்கையை எழுதுக.
தொடர்ந்து வரும் மூன்று முக்கோணங்கள் உருவாக்குவதற்குத் தேவையான பொட்டுக்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுக. முதலில் மூன்று பொட்டுகள் வைத்து துவங்குக.தொடர்களின் இயற்கணிதம்
பக்கங்களின் நீளம் 1 செ.மீ, 2 செ.மீ, 3 செ.மீ என இவ்வாறு உள்ள சதுரங்களின்
சுற்றளவுகளை வரிசையாக எடுத்தால் 4,8,12, ... என்ற தொடர் கிடைக்கும்.ஒரு தொடரிலுள்ள எண்களை உறுப்புகள் என்பர். இந்த தொடரிலுள்ள உறுப்புகள்
எவை?4,8,12, ....
ஒன்றாவது உறுப்பு 4
இரண்டாவது உறுப்பு 8
மூன்றாவது உறுப்பு 12, ...
இதனை இடம் 1 2 3 ...
உறுப்பு 4 8 12 ...
இதில் 5- வது உறுப்பு என்ன? 20-வது உறுப்பு என்ன?
இடத்திற்கும் உறுப்புக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு என்ன?
தொடரிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் இடத்தின் நான்கு மடங்காகும்.
இயற்கணிதம் பயன்படுத்தி இதை தொடரின் n ஆவது உறுப்பு 4n என எழுதலாம்.
ஒரு தொடரிலுள்ள உறுப்புகளை இடத்தின் வரிசையில் எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி
எழுதினால்x1, x2, x3, . . . மேலே எழுதிய தொடர்முறையை மீண்டும் சுருக்கலாம்.
xn = 4n
இதில் n ஆக 1,2,3,... எனத் தொடர்ச்சியான எண்ணல் எண்களை எடுக்கும்போது
x1= 4
x2 = 8
x3= 12
...
இதனைப் பயன்படுத்தி தொடரின்100 வது உறுப்பினை நேரடியாகக் கணக்கிடலாம்.
x100 = 4 x 100 = 400
சுற்றளவிற்குப் பதிலாக பரப்பளவு எடுத்தால் கிடைக்கும் தொடர் 1, 4, 9, 16, ...
இதில் இடத்துக்கும் உறுப்புக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு என்ன?
ஒவ்வொரு உறுப்பும் இடத்தின் வர்க்கம் ஆகும். இயற்கணிதத்தில் எழுதினால்
xn= n2
பக்கங்களின் நீளத்தின் தொடரை இயற்கணிதத்தில் எழுதினால் n வது சதுரத்தின்பக்கத்தின் நீளம் Sn என எழுதினால்
இதுவே
எனவும் எழுதலாம்.
கூட்டுத்தொடர்கள்
-
பக்கங்களின் நீளம் 1, 2, 3, 4, ... உடைய சதுரங்களின் சுற்றளவுகளைக் கணக்கிட்ட போது
4, 8, 12, 16,என்ற தொடர் கிடைத்தது. தீக்குச்சிகளால் முக்கோணம் உருவாக்கினால் முதல் முக்கோணத்திற்கு மூன்று குச்சிகள்,
தொடர்ந்து வரும் ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் 2 வீதம் கூடுகின்றது. அவ்வாறு
மூன்றிலிருந்து தொடங்கி, மீண்டும் மீண்டும் 2 கூடுகிறது.3, 5, 7, 9, ... என்ற தொடர் கிடைக்கிறது.
ஓர் எண்ணிலிருந்து தொடங்கி ஒரே எண்ணையே மீண்டும் மீண்டும் கூட்டவோ
கழிக்கவோ செய்யும் தொடரின் பெயர், கூட்டுத்தொடர் எனப்படும்.ஓர் உறுப்பிலிருந்து அதன் தொட்டுப்பின்னால் உள்ள உறுப்பைக் கழித்துக் கிடைக்கும்
இந்த மாறாத மாறாத வித்தியாசத்தைக் கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசம் எனக்
கூறுவர்.பல சூழல்களில் இது கூட்டுத்தொடரா எனச் சோதித்துப் பார்ப்பதற்கு, உறுப்புகளின்
வித்தியாசம் மாறாமல் இருக்கின்றதா எனப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தினால் போதும்.
எடு்ததுக்காட்டாக, 3 இன் மடங்குகளைப் பார்ப்போம்.3, 6, 9, ...
3 இன் அடுத்தடுத்த இரு மடங்குகளின் வித்தியாசம் 3.
அதாவது பொதுவித்தியாசம் 3. அதாவது இது பொது வித்தியாசம் 3 ஆன ஒரு
கூட்டுத்தொடர்.3 இன் அடுக்குகளின் தொடரைப் பார்ப்போம்,
3, 9, 27, ...
9-3=6 உம் 27-9=18 உம் உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் ஒரே எண் அல்ல.
எனவே இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் அல்ல.
இடமும் உறுப்பும்
1, 11 எனும் எண்கள் முதல் உறுப்பும் இரண்டாம் உறுப்பும் ஆன ஒரு கூட்டுத்தொடரை
உருவாக்கலாமா?1 இல் இருந்து 11 இல் சென்று சேர 10 ஐக் கூட்ட வேண்டும். தொடர்ந்து 10 ஐ மட்டும்
கூட்டினால் கூட்டுத்தொடராகும்.1, 11, 21, 31, ...
1, 11 என்பன முதல் உறுப்பும், மூன்றாவது உறுப்பும் எனில் ஒரு கூ்டடுத்தொடரை
உருவாக்கலாமா?இத்தகைய ஒரு கூட்டுத்தொடரின் பொதுவித்தியாசத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?
1 உடன் பொதுவித்தியாசத்தைக் கூட்டுவதே இரண்டாவது எண், மீண்டும் ஒரு முறை
பொதுவித்தியாசத்தைக் கூட்டினால் மூன்றாவது எண்ணான 11 கிடைக்க வேண்டும்.அதாவது 1 உடன் பொதுவித்தியாசத்தின் இரு மடங்கைக் கூட்டும்போது 11
கிடைக்கிறது.
அப்படியானால் பொதுவித்தியாசத்தின் இரு மடங்கு 10, பொதுவித்தியாசம் 5.தொடர் 1, 6, 11, 16, 21, ...
ஒரு கூட்டுத்தொடரில் இரு உறுப்புகளின் வித்தியாசம், அவற்றின் இடங்களின்
வித்தியாசம், பொதுவித்தியாசம் என்பனவற்றின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.இதனை வேறொரு முறையிலும் கூறலாம்,
எந்த ஒரு கூட்டுத்தொடரிலும், உறுப்புகளின் வித்தியாசம் இட வித்தியாசத்திற்கு விகித
சமமாகும். இந்த விகிதசம மாறிலி பொதுவித்தியாசமாகும்.ஓர் எண் கூட்டுத்தொடரிலுள்ள உறுப்பா எனச் சோதித்துப் பார்ப்பதற்கு இந்த
கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்.
19, 28, 37, ...
இதில் எந்த இரு உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசமும், பொதுவித்தியாசமான
9 இன் மடங்கு. மாறாக ஏதேனும் ஓர் எண்ணுக்கும் இத்தொடரின் முதல் உறுப்பான 19 க்
கும் இடையே உள்ள வித்தியாசம் 1000-19=981 = 109 x 9. இது 9 இன் மடங்கு ஆகும்.
அப்போது முதல் உறுப்பான 19 உடன் பொதுவித்தியாசத்தின் 109 மடங்கை
கூட்டும்போது 1000 கிடைக்கிறது. ஆகவே 1000 இத்தொடரின் 110 வது உறுப்பாகும்.
கூட்டுத்தொடர்களின் இயற்கணிதம்
19, 28, 37, இந்தக் கூட்டுத்தொடரில் உள்ள எந்த இடத்தில் உள்ள உறுப்பைக் கணக்கிடு
வதற்கும், ஒன்றாம் இடத்துடன் உள்ள இட வித்தியாசத்தைப் பொதுவித்தியாசத்துடன் 9
ஆல் பெருக்கி, ஒன்றாம் உறுப்பான 19 உடன் கூட்ட வேண்டும்.எடுத்துக்காட்டாக இதன் 15 ஆவது 1 ஆம் இடத்துடன் உள்ள இட வித்தியாசம் 15-1=14,
எனவே 15 ஆவது உறுப்பைக் கணக்கிட முதல் உறுப்பான 19 உடன்
பொதுவித்தியாசமான 9 இன் 14 மடங்கைக் கூட்டினால் போதும்.15 ஆவது உறுப்பு 19+(14 x 9) = 145
இருபதாம் உறுப்போ?
பொதுவாகக் கூறினால், எந்த எண்ணல் எண்ணை n என எடுத்தாலும், n ஆவது உறுப்பு
19+(n-1)x9 = 9n+10
இத்தொடரின் இயற்கணித வடிவம்
xn = 9n+10
ஒரு கூட்டுத்தொடரின் முதல் உறுப்பு f எனவும், பொதுவித்தியாசம் d எனவும் எடுத்தால்,
அதன் n ஆவது உறுப்புf+(n-1)d = dn+(f-d)
எந்தக் கூட்டுத்தொடரிலும் குறிப்பிட்ட இடத்தில் உள்ள உறுப்பு, இட எண்ணைப்
பொதுவித்தியாசத்தால் பெருக்கி, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் கூட்டியது ஆகும்.அதாவது எந்தக் கூட்டுத்தொடரிலும் இயற்கணித வடிவம்
xn= an+b
இதில் தொடர்ச்சியான எந்த இரு உறுப்புகளும் an+b, a(n+1)+b.
இவற்றின் வித்தியாசம்
a(n+1)+b – (an+b) = a ஆகவே இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் ஆகும்.
அதாவது தொடர்ச்சியான எந்த இரு உறுப்புகளிலும் வித்தியாசம் a ஆகும்.
எந்த ஒரு கூட்டுத்தொடருக்கும் இயற்கணித வடிவம்
xn= an+b இதில் a,b என்பன குறிப்பிட்ட எண்கள் ஆகும்.
கீழே தரப்பட்டுள்ள வினாக்களுக்கு விடை அளியுங்கள்
